Bài 4

Cho

n\ge 3

là một số nguyên và

t_1,t_2,\dots,t_n

là các số thực dương sao cho

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

Chứng minh rằng

t_i,t_j,t_k

là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi

i,j,k

thỏa mãn

1\le i<j<k\le n

Bước 1 trên 4: Khai triển thành các số hạng chéo và các cặp đối xứng

Bước trước Bước tiếp

\left(\sum_{r=1}^n t_r\right)\left(\sum_{s=1}^n \frac{1}{t_s}\right)=n+\sum_{1\le r<s\le n}\left(\frac{t_r}{t_s}+\frac{t_s}{t_r}\right)

Phân tích chi tiết

Cố định ba chỉ số bất kỳ $i<j<k$ ; do tính đối xứng ta có thể đánh số lại chúng thành $1,2,3$ và viết $(t_1,t_2,t_3)=(a,b,c)$ , sắp thứ tự sao cho $a\le b\le c$ . Khai triển tích ở vế phải của bất đẳng thức đã cho tách $n$ số hạng đường chéo $t_r/t_r=1$ (có tổng bằng $n$ ) khỏi $\binom{n}{2}$ cặp không thứ tự $t_r/t_s+t_s/t_r$ với $1\le r<s\le n$ .