MathLabs

Bài 4

Cho n≥3n\ge 3 là một số nguyên và t1,t2,…,tnt_1,t_2,\dots,t_n là các số thực dương sao cho n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn).n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right). Chứng minh rằng ti,tj,tkt_i,t_j,t_k là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi i,j,ki,j,k thỏa mãn 1≤i<j<k≤n1\le i<j<k\le n.
Bước 2 trên 4: Chặn các cặp ngoài bộ ba bằng AM-GM
Bước trướcBước tiếp
trts+tstr≥2 for the (n2)−3 pairs outside {1,2,3}  ⟹  (ab+ba)+(bc+cb)+(ca+ac)<7\frac{t_r}{t_s}+\frac{t_s}{t_r}\ge2\text{ for the }\binom{n}{2}-3\text{ pairs outside }\{1,2,3\}\implies \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)<7
Phân tích chi tiết

Với mỗi cặp trong (n2)−3\binom{n}{2}-3 cặp (r,s)(r,s) không nằm trong {1,2,3}\{1,2,3\}, AM-GM cho tr/ts+ts/tr≥2t_r/t_s+t_s/t_r\ge 2, nên các cặp đó đóng góp ít nhất 2((n2)−3)=n(n−1)−62\bigl(\binom{n}{2}-3\bigr)=n(n-1)-6. Trừ lượng này và phần đường chéo nn khỏi n2+1n^2+1 còn lại (a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)<7(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)<7 cho ba cặp nằm trong {1,2,3}\{1,2,3\}.