Bài 4

Cho

n\ge 3

là một số nguyên và

t_1,t_2,\dots,t_n

là các số thực dương sao cho

n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).

Chứng minh rằng

t_i,t_j,t_k

là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi

i,j,k

thỏa mãn

1\le i<j<k\le n

Bước 3 trên 4: Rút gọn bất đẳng thức ba biến theo

s=(a+b)/c

Bước trước Bước tiếp

\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \implies \frac{a+b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}<5;\quad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \implies \frac{a+b}{c}+\frac{4c}{a+b}<5

Phân tích chi tiết

Vì $a/b+b/a\ge 2$ theo AM-GM, Bước 2 cho $(a+b)/c + c(1/a+1/b) < 5$ . Theo Cauchy-Schwarz (hoặc AM-HM), $1/a+1/b\ge 4/(a+b)$ , nên nhân với $c>0$ được $(a+b)/c + 4c/(a+b) < 5$ . Đặt $s=(a+b)/c>0$ , bất đẳng thức trở thành $s + 4/s < 5$ .