MathLabs

Bài 4

Cho n≥3n\ge 3 là một số nguyên và t1,t2,…,tnt_1,t_2,\dots,t_n là các số thực dương sao cho n2+1>(t1+t2+⋯+tn)(1t1+1t2+⋯+1tn).n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right). Chứng minh rằng ti,tj,tkt_i,t_j,t_k là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi i,j,ki,j,k thỏa mãn 1≤i<j<k≤n1\le i<j<k\le n.
Bước 4 trên 4: Phân tích tam thức bậc hai theo ss để được a+b>ca+b>c
Bước trướcBước tiếp
s+4s<5  ⟺  s2−5s+4<0  ⟺  (s−1)(s−4)<0  ⟹  s>1  ⟹  a+b>cs+\frac{4}{s}<5 \iff s^2-5s+4<0 \iff (s-1)(s-4)<0 \implies s>1 \implies a+b>c
Phân tích chi tiết

Vì s>0s>0, nhân s+4/s<5s+4/s<5 với ss cho s2−5s+4<0s^2-5s+4<0, phân tích được thành (s−1)(s−4)<0(s-1)(s-4)<0. Do đó 1<s<41<s<4, và nói riêng s>1s>1, tức a+b>ca+b>c. Vì ta đã sắp thứ tự a≤b≤ca\le b\le c, hai bất đẳng thức tam giác còn lại a+c>ba+c>b và b+c>ab+c>a tự động đúng, nên a,b,ca,b,c là ba cạnh của một tam giác.