MathLabs

Bài 5

Trong một tứ giác lồi ABCDABCD, đường chéo BDBD không phân giác góc ∠ABC\angle ABC cũng không phân giác góc ∠CDA\angle CDA. Điểm PP nằm bên trong ABCDABCD và thỏa mãn ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. Chứng minh rằng ABCDABCD là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi AP=CPAP=CP.
Bước 2 trên 5: Viết lại ∠APB+∠CPD=180∘\angle APB + \angle CPD = 180^\circ theo △PAC\triangle PAC
Bước trướcBước tiếp
∡APB+∡CPD=0  ⟺  ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0 \iff \measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB
Phân tích chi tiết

Dùng góc định hướng theo môđun 180∘180^\circ. Bước 1 cho ∡APB+∡CPD=0\measuredangle APB+\measuredangle CPD=0. Ghép hai góc đã cho tại B và D được ∡PBA=∡CBD\measuredangle PBA=\measuredangle CBD và ∡PDC=∡ADB\measuredangle PDC=\measuredangle ADB. Phân tích hai góc tại P trong các tam giác ABP và CDP cho ∡APB=∡PBA+∡BAP=∡CBD+∡BAC−∡PAC\measuredangle APB=\measuredangle PBA+\measuredangle BAP=\measuredangle CBD+\measuredangle BAC-\measuredangle PAC và ∡CPD=∡PDC+∡DCP=∡ADB+∡DCA+∡ACP\measuredangle CPD=\measuredangle PDC+\measuredangle DCP=\measuredangle ADB+\measuredangle DCA+\measuredangle ACP. Cộng hai đẳng thức và dùng Bước 1 được ∡PAC−∡ACP=∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB\measuredangle PAC-\measuredangle ACP=\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB, nên ∡PAC=∡ACP\measuredangle PAC=\measuredangle ACP đúng khi và chỉ khi tổng bốn góc bằng không.