MathLabs

Bài 5

Trong một tứ giác lồi ABCDABCD, đường chéo BDBD không phân giác góc ∠ABC\angle ABC cũng không phân giác góc ∠CDA\angle CDA. Điểm PP nằm bên trong ABCDABCD và thỏa mãn ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. Chứng minh rằng ABCDABCD là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi AP=CPAP=CP.
Bước 3 trên 5: Giải thích điều kiện bốn góc qua tỉ số kép phức
Bước trướcBước tiếp
∡BAC+∡CBD+∡DCA+∡ADB=0  ⟺  z+1z∈R for z=(a−b)(c−d)(b−c)(a−d)  ⟺  ABCD cyclic or AB⋅CD=BC⋅DA\measuredangle BAC+\measuredangle CBD+\measuredangle DCA+\measuredangle ADB=0 \iff z+\frac{1}{z}\in\mathbb{R}\ \text{for }z=\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)} \iff ABCD\text{ cyclic or }AB\cdot CD=BC\cdot DA
Phân tích chi tiết

Đặt các đỉnh có tọa độ phức a,b,c,da,b,c,d và định nghĩa z=(a−b)(c−d)(b−c)(a−d)z=\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}. Khai triển trực tiếp cho (a−b)(c−d)+(b−c)(a−d)=(a−c)(b−d)(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=(a-c)(b-d), nên z+1=(a−c)(b−d)(b−c)(a−d)z+1=\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}. Tích của bốn thương phức có các đối số lần lượt là ∡BAC,∡CBD,∡DCA,∡ADB\measuredangle BAC,\measuredangle CBD,\measuredangle DCA,\measuredangle ADB bằng, sai khác một dấu thực, (z+1)2/z=z+2+1/z(z+1)^2/z=z+2+1/z. Vì vậy tổng bốn góc bằng 00 theo môđun 180∘180^\circ đúng khi và chỉ khi z+1/zz+1/z là số thực. Viết z=x+iyz=x+iy, phần ảo của biểu thức này là y(1−1/∣z∣2)y(1-1/|z|^2); do đó điều kiện xảy ra đúng khi z∈Rz\in\mathbb R hoặc ∣z∣=1|z|=1. Điều kiện thứ nhất là tiêu chuẩn tỉ số kép quen thuộc cho A,B,C,DA,B,C,D nội tiếp. Điều kiện thứ hai là ∣a−b∣∣c−d∣=∣b−c∣∣a−d∣|a-b||c-d|=|b-c||a-d|, tức AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA, chính là điều kiện tứ giác chuẩn điều hòa.