Bài 2

Cho

a_1, a_2, \dots

là một dãy số nguyên có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm. Giả sử với mọi số nguyên dương

n

, các số

a_1, a_2, \dots, a_n

cho

n

số dư khác nhau khi chia cho

n

. Chứng minh rằng mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.

Bước 2 trên 5: Hai số hạng gần chỉ số không cách xa nhau

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Nếu hai số hạng đầu cách nhau quá xa, chính khoảng cách đó đủ nhỏ để đóng vai trò $n$ khiến chúng trùng số dư.

i<j\ \Longrightarrow\ |a_i-a_j|<j

Phân tích chi tiết

Giả sử $|a_i-a_j|\ge j$ với $i<j$ nào đó, đặt $n=|a_i-a_j|\ne0$ (khác không theo bước trước). Khi đó $i<j\le n$ nên cả hai chỉ số đều thuộc $[1,n]$ , và $a_i\equiv a_j\pmod n$ theo cách chọn $n$ — mâu thuẫn với việc $a_1,\dots,a_n$ có $n$ số dư khác nhau khi chia cho $n$ . Vậy $|a_i-a_j|<j$ với mọi $i<j$ .