Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2005

Đề thi

Bài 1Trên các cạnh của tam giác đều $ABC$ chọn sáu điểm: $A_1, A_2$ trên $BC$ , $B_1, B_2$ trên $CA$ và $C_1, C_2$ trên $AB$ , sao cho chúng là các đỉnh của một lục giác lồi $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_1B_2$ , $B_1C_2$ và $C_1A_2$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a_1, a_2, \dots$ là một dãy số nguyên có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm. Giả sử với mọi số nguyên dương $n$ , các số $a_1, a_2, \dots, a_n$ cho $n$ số dư khác nhau khi chia cho $n$ . Chứng minh rằng mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xyz\ge 1$ . Chứng minh rằng $\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.$ Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mọi số hạng của dãy vô hạn $a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1.$ Các cách giải: 1
Bài 5Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi cố định với $BC = DA$ và $BC \nparallel DA$ . Cho hai điểm thay đổi $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$ và $DA$ , thỏa mãn $BE = DF$ . Đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$ , đường thẳng $BD$ và $EF$ cắt nhau tại $Q$ , đường thẳng $EF$ và $AC$ cắt nhau tại $R$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ , khi $E$ và $F$ thay đổi, luôn đi qua một điểm chung khác $P$ .Các cách giải: 1
Bài 6Trong một kỳ thi toán học có $6$ bài toán được đưa ra cho các thí sinh, cứ hai bài bất kỳ trong số đó đều có hơn $\frac25$ số thí sinh giải được. Hơn nữa, không có thí sinh nào giải được cả $6$ bài. Chứng minh rằng có ít nhất $2$ thí sinh mà mỗi người giải được đúng $5$ bài.Các cách giải: 1