MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,…a_1, a_2, \dots là một dãy số nguyên có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm. Giả sử với mọi số nguyên dương nn, các số a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n cho nn số dư khác nhau khi chia cho nn. Chứng minh rằng mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.
Bước 4 trên 5: Vô hạn hai dấu buộc khối phải mở rộng vô hạn
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một khối chỉ tăng thêm mỗi lần đúng một số nguyên thì không thể chứa vô hạn số hạng dương lẫn vô hạn số hạng âm trừ khi nó liên tục mở rộng về cả hai phía mãi mãi.

n→∞ ⟹ {a1,…,an} grows without bound in both directionsn\to\infty\ \Longrightarrow\ \{a_1,\dots,a_n\}\ \text{grows without bound in both directions}
Phân tích chi tiết

Theo bước trước, ở mỗi giai đoạn {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} là một khối nn số nguyên liên tiếp mở rộng thêm đúng một số nguyên, về bên trái hoặc bên phải, khi nn tăng thêm 11. Vì cả dãy có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm, khối này phải mở rộng vô hạn về cả hai phía khi n→∞n\to\infty.