MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,…a_1, a_2, \dots là một dãy số nguyên có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm. Giả sử với mọi số nguyên dương nn, các số a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n cho nn số dư khác nhau khi chia cho nn. Chứng minh rằng mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.
Bước 5 trên 5: Mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần
Bước trướcBước tiếp
∀m∈Z, ∃! n: an=m\forall m\in\mathbb Z,\ \exists!\,n:\ a_n=m
Phân tích chi tiết

Vì khối mở rộng {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} cuối cùng chứa mọi số nguyên, nên mỗi số nguyên mm bằng một số hạng ana_n nào đó; và theo bước đầu tiên nó bằng nhiều nhất một số hạng. Vậy mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.