MathLabs

Bài 3

Tìm số thực nhỏ nhất MM sao cho bất đẳng thức ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} đúng với mọi số thực aa, bb, cc.
Bước 1 trên 8: Phân tích tổng vòng thành tích các nhân tử bậc nhất
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Coi tổng vòng rắc rối như một đa thức chỉ theo một biến biến việc tìm đẳng thức đại số thành việc kiểm tra nghiệm đơn giản.

ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)=(b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)
Phân tích chi tiết

Xem vế trái là một đa thức bậc ba theo aa với bb và cc cố định; hệ số của a3a^3 là b−cb-c. Vì a=ba=b, a=ca=c và a=−b−ca=-b-c đều làm nó triệt tiêu, nó phải bằng (b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c).