Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2006

Đề thi

Bài 1Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ . Một điểm $P$ nằm trong tam giác thỏa mãn $\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB$ . Chứng minh rằng $AP \geq AI$ , và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $P=I$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $P$ là một đa giác đều $2006$ cạnh. Một đường chéo của $P$ được gọi là tốt nếu hai đầu mút của nó chia biên của $P$ thành hai phần, mỗi phần gồm một số lẻ cạnh của $P$ . Các cạnh của $P$ cũng được gọi là tốt. Giả sử $P$ được chia thành các tam giác bởi $2003$ đường chéo mà không có hai đường chéo nào cắt nhau ở miền trong của $P$ . Tìm số lượng lớn nhất các tam giác cân có hai cạnh tốt có thể xuất hiện trong một cấu hình như vậy.Các cách giải: 1
Bài 3Tìm số thực nhỏ nhất $M$ sao cho bất đẳng thức $\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ đúng với mọi số thực $a$ , $b$ , $c$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm mọi cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $1+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n>1$ với hệ số nguyên, và $k$ là số nguyên dương. Đặt $Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))$ , trong đó $P$ xuất hiện $k$ lần. Chứng minh rằng có nhiều nhất $n$ số nguyên $t$ sao cho $Q(t)=t$ .Các cách giải: 1
Bài 6Gán cho mỗi cạnh $b$ của một đa giác lồi $P$ diện tích lớn nhất của một tam giác nhận $b$ làm một cạnh và nằm trong $P$ . Chứng minh rằng tổng các diện tích được gán cho các cạnh của $P$ lớn hơn hoặc bằng hai lần diện tích của $P$ .Các cách giải: 1