第3問

すべての実数

a

b

c

に対して不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

が成り立つような実数

M

の最小値を求めよ。

ステップ 1/8: 巡回和を1次因子の積として因数分解する

ざっくり言うと

煩雑な巡回和を一つの変数だけの多項式とみなすことで、代数的恒等式探しが単純な根の確認に変わる。

ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)

詳しい解説

$b$ と $c$ を固定して左辺を $a$ の3次式とみなすと、 $a^3$ の係数は $b-c$ である。 $a=b$ 、 $a=c$ 、 $a=-b-c$ のいずれでも消えるので、左辺は $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ に等しい。