第3問

すべての実数

a

b

c

に対して不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

が成り立つような実数

M

の最小値を求めよ。

ステップ 2/8: 変数を並べ替える（評価式は対称）

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$a$ , $b$ , $c$ のうち二つを入れ替えても $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ の符号が変わるだけで、絶対値と $(a^2+b^2+c^2)^2$ はその符号を無視するので、都合のよい順序を選んでよい。

a\le b\le c

詳しい解説

この不等式全体は $a$ , $b$ , $c$ のどんな置換によっても変わらない：右辺 $(a^2+b^2+c^2)^2$ は明らかに対称であり、左辺は因数分解した形 $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ の置換により符号だけが変わるが、その符号は絶対値によって消える。したがって $a\le b\le c$ と仮定してよい。