MathLabs

第4問

1+2x+22x+1=y21+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2} を満たす整数の組 (x,y)(x,y) をすべて求めよ。
ステップ 6/7: 一方の符号を排除し他方を評価する
ε=1⟹m=1 (impossible),ε=−1⟹1+m=2x−2(m2−8)\varepsilon=1\Longrightarrow m=1\text{ (impossible)},\qquad \varepsilon=-1\Longrightarrow 1+m=2^{x-2}(m^2-8)
詳しい解説

ε=1\varepsilon=1 なら 1−m=2x−2(m2−8)1-m=2^{x-2}(m^2-8) から m2<8m^2<8、従って m=1m=1 だが式に合わない。よって ε=−1\varepsilon=-1 であり、1+m=2x−2(m2−8)1+m=2^{x-2}(m^2-8) となる。x≥3x\ge3 より 1+m≥2(m2−8)1+m\ge2(m^2-8)、従って 2m2−m−17≤02m^2-m-17\le0 で、正の奇数 mm は m≤3m\le3。11 は不可能なので m=3m=3 である。