MathLabs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2007

Đề thi

  1. Bài 1Cho các số thực a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Với mỗi ii (1≤i≤n1 \le i \le n), đặt di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} và d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}. (a) Chứng minh rằng, với mọi số thực x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n, ta có max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}. (b) Chứng minh rằng tồn tại các số thực x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Xét năm điểm A,B,C,D,EA, B, C, D, E sao cho ABCDABCD là hình bình hành và BCEDBCED là tứ giác nội tiếp. Gọi ℓ\ell là đường thẳng đi qua AA. Giả sử ℓ\ell cắt phần trong của đoạn DCDC tại FF và cắt đường thẳng BCBC tại GG. Ngoài ra, giả sử EF=EG=ECEF = EG = EC. Chứng minh rằng ℓ\ell là đường phân giác của góc DABDAB.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Trong một cuộc thi toán, một số thí sinh là bạn của nhau. Quan hệ bạn bè luôn có tính hai chiều. Gọi một nhóm thí sinh là một nhóm bạn nếu mỗi hai người trong nhóm đều là bạn. (Đặc biệt, mọi nhóm có ít hơn hai thí sinh đều là một nhóm bạn.) Số thành viên của một nhóm bạn được gọi là kích thước của nhóm. Biết rằng trong cuộc thi này, kích thước lớn nhất của một nhóm bạn là số chẵn, hãy chứng minh có thể xếp các thí sinh vào hai phòng sao cho kích thước lớn nhất của một nhóm bạn nằm trong phòng này bằng kích thước lớn nhất của một nhóm bạn nằm trong phòng kia.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Trong tam giác ABCABC, đường phân giác của góc BCABCA cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại RR, cắt đường trung trực của BCBC tại PP, và cắt đường trung trực của ACAC tại QQ. Trung điểm của BCBC là KK và trung điểm của ACAC là LL. Chứng minh rằng hai tam giác RPKRPK và RQLRQL có cùng diện tích.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho aa và bb là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu 4ab−14ab-1 chia hết (4a2−1)2(4a^2-1)^2 thì a=ba=b.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Cho nn là một số nguyên dương. Xét S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0}S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} như một tập gồm (n+1)3−1(n+1)^3-1 điểm trong không gian ba chiều. Xác định số mặt phẳng nhỏ nhất mà hợp của chúng chứa SS nhưng không chứa (0,0,0)(0,0,0).Các cách giải: 1