Math Labs

Bài 5

Cho aa và bb là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu 4ab−14ab-1 chia hết (4a2−1)2(4a^2-1)^2 thì a=ba=b.
Bước 1 trên 3: Định nghĩa cặp xấu và chứng minh tính chất thu nhỏ khi x < y
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Theo modulo 4x4x, cả 4xy−14xy-1 và 4x2−14x^2-1 đều bằng −1-1, nên thương rr cũng bằng −1(mod4x)-1 \pmod{4x} và nhỏ hơn 4x2−14x^2-1 khi x<yx < y.

r=(4x2−1)24xy−1≡−1(mod4x)  ⟹  r=4xz−1 with 1≤z<xr = \frac{(4x^2-1)^2}{4xy-1} \equiv -1 \pmod{4x} \implies r = 4xz-1 \text{ with } 1 \le z < x
Phân tích chi tiết

Gọi một cặp (x,y)(x,y) số nguyên dương là xấu nếu 4xy−1∣(4x2−1)24xy-1 \mid (4x^2-1)^2 và x≠yx \ne y. Giả sử (x,y)(x,y) xấu với x<yx < y, và đặt r=(4x2−1)24xy−1r = \dfrac{(4x^2-1)^2}{4xy-1}. Vì r(4xy−1)=(4x2−1)2≡1(mod4x)r(4xy-1) = (4x^2-1)^2 \equiv 1 \pmod{4x} và 4xy−1≡−1(mod4x)4xy-1 \equiv -1 \pmod{4x}, ta có r≡−1(mod4x)r \equiv -1 \pmod{4x}, nên r=4xz−1r = 4xz-1 với số nguyên dương zz nào đó. Vì x<yx < y, 4xz−1=(4x2−1)24xy−1<(4x2−1)24x2−1=4x2−14xz-1 = \dfrac{(4x^2-1)^2}{4xy-1} < \dfrac{(4x^2-1)^2}{4x^2-1} = 4x^2-1, cho ta z<xz < x; vì 4xz−1=r4xz-1 = r chia hết (4x2−1)2(4x^2-1)^2 và z<xz < x, cặp (x,z)(x,z) cũng xấu.