MathLabs

Bài 2

Xét năm điểm A,B,C,D,EA, B, C, D, E sao cho ABCDABCD là hình bình hành và BCEDBCED là tứ giác nội tiếp. Gọi ℓ\ell là đường thẳng đi qua AA. Giả sử ℓ\ell cắt phần trong của đoạn DCDC tại FF và cắt đường thẳng BCBC tại GG. Ngoài ra, giả sử EF=EG=ECEF = EG = EC. Chứng minh rằng ℓ\ell là đường phân giác của góc DABDAB.
Bước 2 trên 4: So sánh các đường cao từ E khi CF < CG
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai tam giác cân có các cạnh bên bằng nhau EF=ECEF = EC thì có đường cao dài hơn trên đáy ngắn hơn.

CF<CG  ⟹  KF=CF2<CG2=LC  ⟹  KE=EF2−KF2>EC2−LC2=LECF < CG \implies KF = \frac{CF}{2} < \frac{CG}{2} = LC \implies KE = \sqrt{EF^2 - KF^2} > \sqrt{EC^2 - LC^2} = LE
Phân tích chi tiết

Giả sử CF<CGCF < CG. Gọi EK⊥DCEK \perp DC và EL⊥BCEL \perp BC là các đường cao từ EE trong hai tam giác cân ECFECF (EF=ECEF = EC) và EGCEGC (EG=ECEG = EC), nên KK và LL lần lượt là trung điểm của CFCF và CGCG. Khi đó KF=CF2<CG2=LCKF = \dfrac{CF}{2} < \dfrac{CG}{2} = LC; vì EF=ECEF = EC, định lý Pythagore trong các tam giác vuông EKFEKF và ELCELC cho KE=EF2−KF2>EC2−LC2=LEKE = \sqrt{EF^2 - KF^2} > \sqrt{EC^2 - LC^2} = LE.