MathLabs

Bài 2

Xét năm điểm A,B,C,D,EA, B, C, D, E sao cho ABCDABCD là hình bình hành và BCEDBCED là tứ giác nội tiếp. Gọi ℓ\ell là đường thẳng đi qua AA. Giả sử ℓ\ell cắt phần trong của đoạn DCDC tại FF và cắt đường thẳng BCBC tại GG. Ngoài ra, giả sử EF=EG=ECEF = EG = EC. Chứng minh rằng ℓ\ell là đường phân giác của góc DABDAB.
Bước 4 trên 4: Suy ra DF > AD và mâu thuẫn với sự đồng dạng của ADF và GCF
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Trừ nửa đáy nhỏ hơn KF<LCKF < LC khỏi cạnh lớn hơn DK>BLDK > BL cho DF>BC=ADDF > BC = AD, mâu thuẫn trực tiếp với ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1.

DF=DK−KF>BL−LC=BC=AD,△ADF∼△GCF  ⟹  ADDF=CGCF>1DF = DK - KF > BL - LC = BC = AD, \qquad \triangle ADF \sim \triangle GCF \implies \frac{AD}{DF} = \frac{CG}{CF} > 1
Phân tích chi tiết

Dùng DK>BLDK > BL (Bước 3) và KF<LCKF < LC (Bước 2), ta có DF=DK−KF>BL−LC=BC=ADDF = DK - KF > BL - LC = BC = AD, nên ADDF<1\dfrac{AD}{DF} < 1. Mặt khác, vì AD∥GCAD \parallel GC, △ADF∼△GCF\triangle ADF \sim \triangle GCF, suy ra ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1 (do giả sử CF<CGCF < CG), mâu thuẫn. Trường hợp CF>CGCF > CG cho các bất đẳng thức ngược KF>LCKF > LC, KE<LEKE < LE, DK<BLDK < BL, DF<ADDF < AD và 1<ADDF=CGCF<11 < \dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} < 1, cũng mâu thuẫn. Vậy CF=CGCF = CG, và theo Bước 1, ℓ\ell phân giác ∠DAB\angle DAB.