Bài 1

Cho

n, k \ge 2

là các số nguyên dương và

a_1, a_2, \dots, a_k

là các số nguyên phân biệt thuộc tập

\{1, 2, \dots, n\}

sao cho

n

chia hết

a_i(a_{i+1} - 1)

với mọi

i = 1, 2, \dots, k - 1

. Chứng minh rằng

n

không chia hết

a_k(a_1 - 1)

Bước 1 trên 5: Giả sử các quan hệ chia hết khép thành một vòng

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Để đi tới mâu thuẫn với tính phân biệt, trước tiên ta biến chuỗi quan hệ hở thành một vòng kín bằng cách giả sử luôn cả quan hệ bị cấm.

a_i(a_{i+1}-1)\equiv 0 \pmod n \text{ for } i=1,\dots,k \text{ (indices mod } k\text{)}

Phân tích chi tiết

Giả sử phản chứng rằng $n$ cũng chia hết $a_k(a_1-1)$ . Kết hợp với $k-1$ quan hệ đã cho, ta có $a_i(a_{i+1}-1)\equiv 0\pmod n$ với mọi $i=1,\dots,k$ , trong đó chỉ số lấy modulo $k$ nên $a_{k+1}=a_1$ . Ta sẽ chỉ ra điều này buộc $a_1,\dots,a_k$ đồng dư từng đôi một modulo $n$ , mâu thuẫn với việc chúng là các phần tử phân biệt của $\{1,\dots,n\}$ .