国際数学オリンピック · 2009年

問題

第1問 $n, k \ge 2$ を正の整数とし、 $a_1, a_2, \dots, a_k$ を集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ に属する相異なる整数で、 $i = 1, 2, \dots, k - 1$ のすべてに対して $n$ が $a_i(a_{i+1} - 1)$ を割り切るとする。このとき $n$ は $a_k(a_1 - 1)$ を割り切らないことを証明せよ。解答: 1
第2問 $O$ を外心とする三角形 $ABC$ を考える。点 $P$ , $Q$ はそれぞれ辺 $CA$ , $AB$ の内点とする。線分 $BP$ , $CQ$ , $PQ$ の中点をそれぞれ $K$ , $L$ , $M$ とし、 $K$ , $L$ , $M$ を通る円を $\Gamma$ とする。直線 $PQ$ が円 $\Gamma$ に接するとき、 $OP = OQ$ であることを証明せよ。解答: 1
第3問 $s_1, s_2, s_3, \dots$ を正の整数からなる狭義単調増加数列とし、部分列 $s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots$ と $s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots$ がともに等差数列であるとする。このとき数列 $s_1, s_2, s_3, \dots$ それ自身が等差数列であることを証明せよ。解答: 1
第4問 $AB = AC$ を満たす三角形 $ABC$ を考える。 $\angle CAB$ と $\angle ABC$ の二等分線がそれぞれ辺 $BC$ , $CA$ と交わる点を $D$ , $E$ とする。三角形 $ADC$ の内心を $K$ とする。 $\angle BEK = 45^\circ$ のとき、 $\angle CAB$ としてありうる値をすべて求めよ。解答: 1
第5問正の整数全体から正の整数全体への関数 $f$ で、任意の正の整数 $a$ 、 $b$ に対して、辺の長さが $a$ , $f(b)$ , $f(b+f(a)-1)$ である退化しない三角形が存在するようなものをすべて求めよ。（三角形が退化しないとは、その頂点が一直線上にないことをいう。）解答: 1
第6問 $a_1,\ldots,a_n$ を相異なる正の整数とし、 $M$ を $s=a_1+\cdots+a_n$ を含まない $n-1$ 個の正の整数の集合とする。バッタは $0$ から出発し、長さ $a_1,\ldots,a_n$ の跳躍をある順序で右向きに $n$ 回行う。この順序を、バッタが $M$ の点に一度も着地しないように選べることを証明せよ。解答: 1