Math Labs

Bài 3

Giả sử s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots là một dãy số nguyên dương tăng thực sự sao cho hai dãy con ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots và ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots bản thân nó cũng là một cấp số cộng.
Bước 1 trên 5: Viết cả hai cấp số cộng với cùng công sai D
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Kẹp s(s(n)) giữa s(s(n)+1) và s(s(n+1)) buộc hai cấp số cộng đã cho phải có chung công sai.

s(s(n))=Dn+A,s(s(n)+1)=Dn+B(A<B≤A+D)s(s(n))=Dn+A,\quad s(s(n)+1)=Dn+B\quad (A<B\le A+D)
Phân tích chi tiết

Viết s(n)s(n) cho sns_n. Vì (s(s(n)))n≥1\left(s(s(n))\right)_{n\ge1} là cấp số cộng, s(s(n))=Dn+As(s(n))=Dn+A với các hằng số D,AD,A; vì (s(s(n)+1))n≥1\left(s(s(n)+1)\right)_{n\ge1} cũng vậy, s(s(n)+1)=D′n+Bs(s(n)+1)=D'n+B với các hằng số D′,BD',B. Vì ss tăng thực sự và s(n)<s(n)+1≤s(n+1)s(n)<s(n)+1\le s(n+1), áp dụng ss ta được s(s(n))<s(s(n)+1)≤s(s(n+1))s(s(n))<s(s(n)+1)\le s(s(n+1)), tức Dn+A<D′n+B≤D(n+1)+ADn+A<D'n+B\le D(n+1)+A với mọi n≥1n\ge1. Vì điều này phải đúng với mọi nn, hệ số của nn phải bằng nhau: D=D′D=D'. Khi đó bất đẳng thức thu gọn thành A<B≤A+DA<B\le A+D.