MathLabs

第3問

s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots を正の整数からなる狭義単調増加数列とし、部分列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots と ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots がともに等差数列であるとする。このとき数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots それ自身が等差数列であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 両数列を同じ公差 D で表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

s(s(n)) を s(s(n)+1) と s(s(n+1)) の間に挟むことで、与えられた二つの等差数列が共通の公差を持つことが強制される。

s(s(n))=Dn+A,s(s(n)+1)=Dn+B(A<B≤A+D)s(s(n))=Dn+A,\quad s(s(n)+1)=Dn+B\quad (A<B\le A+D)
詳しい解説

sns_n を s(n)s(n) と書く。(s(s(n)))n≥1\left(s(s(n))\right)_{n\ge1} は等差数列なので、定数 D,AD,A により s(s(n))=Dn+As(s(n))=Dn+A と書ける。同様に (s(s(n)+1))n≥1\left(s(s(n)+1)\right)_{n\ge1} も等差数列なので、定数 D′,BD',B により s(s(n)+1)=D′n+Bs(s(n)+1)=D'n+B。ss は狭義単調増加で s(n)<s(n)+1≤s(n+1)s(n)<s(n)+1\le s(n+1) なので、ss を適用すると s(s(n))<s(s(n)+1)≤s(s(n+1))s(s(n))<s(s(n)+1)\le s(s(n+1))、すなわちすべての n≥1n\ge1 で Dn+A<D′n+B≤D(n+1)+ADn+A<D'n+B\le D(n+1)+A が成り立つ。これがすべての nn で成り立つには nn の係数が一致しなければならず、D=D′D=D' を得る。このとき不等式は A<B≤A+DA<B\le A+D に簡約される。