Math Labs

Bài 4

Cho tam giác ABCABC với AB=ACAB = AC. Đường phân giác của ∠CAB\angle CAB và ∠ABC\angle ABC cắt các cạnh BCBC và CACA lần lượt tại DD và EE. Gọi KK là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADCADC. Giả sử ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ. Tìm tất cả các giá trị có thể của ∠CAB\angle CAB.
Bước 1 trên 5: Thiết lập tọa độ trên trục đối xứng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Vì AB=AC, phân giác AD cũng là trung trực của BC, cho một hệ tọa độ vuông góc tự nhiên tại D.

A=(0,1), C=(tan⁡2x,0), B=(−tan⁡2x,0),∠CAB=4x, 0<x<45∘A=(0,1),\ C=(\tan2x,0),\ B=(-\tan2x,0),\quad \angle CAB=4x,\ 0<x<45^\circ
Phân tích chi tiết

Vì AB=ACAB=AC, phân giác ADAD của ∠CAB\angle CAB vuông góc với BCBC và DD là trung điểm của BCBC; đặc biệt ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ. Đặt ∠DAC=2x\angle DAC=2x (nên ∠CAB=∠BAD+∠DAC=4x\angle CAB=\angle BAD+\angle DAC=4x, với 0<x<45∘0<x<45^\circ). Đặt DD tại gốc tọa độ với ADAD dọc theo trục yy dương và chuẩn hóa AD=1AD=1, nên A=(0,1)A=(0,1). Trong tam giác vuông ADCADC, tan⁡(∠DAC)=DC/AD\tan(\angle DAC)=DC/AD, nên DC=tan⁡2xDC=\tan2x và C=(tan⁡2x,0)C=(\tan2x,0); theo tính đối xứng qua ADAD, B=(−tan⁡2x,0)B=(-\tan2x,0). Ngoài ra AC=ADsec⁡2x=sec⁡2xAC=AD\sec2x=\sec2x.