MathLabs

Bài 2

Gọi II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC và Γ\Gamma là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi DD là giao điểm thứ hai của đường thẳng AIAI với Γ\Gamma. Gọi EE là một điểm trên cung BDCBDC (cung không chứa AA) và FF là một điểm trên cạnh BCBC sao cho ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC. Gọi GG là trung điểm của đoạn thẳng IFIF. Chứng minh rằng hai đường thẳng DGDG và EIEI cắt nhau tại một điểm nằm trên Γ\Gamma.
Bước 1 trên 6: AI là phân giác của góc FAE
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Vì FF và EE được chọn sao cho ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE, nên đường phân giác AIAI của ∠BAC\angle BAC cũng tự động chia đôi góc mới ∠FAE\angle FAE.

∠FAI=∠EAI\angle FAI=\angle EAI
Phân tích chi tiết

Vì AIAI là phân giác của ∠BAC\angle BAC nên ∠BAI=∠CAI=12∠BAC\angle BAI=\angle CAI=\tfrac12\angle BAC; lấy các nửa bằng nhau này trừ đi giả thiết ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE ta được ∠FAI=∠BAI−∠BAF=∠CAI−∠CAE=∠EAI\angle FAI=\angle BAI-\angle BAF=\angle CAI-\angle CAE=\angle EAI, tức AIAI cũng là phân giác của ∠FAE\angle FAE. Hơn nữa, DD — giao điểm thứ hai của AIAI với Γ\Gamma — là trung điểm của cung BDCBDC, đúng cung chứa EE.