Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2010

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi số thực $x,y$ , $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ .Các cách giải: 1
Bài 2Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AI$ với $\Gamma$ . Gọi $E$ là một điểm trên cung $BDC$ (cung không chứa $A$ ) và $F$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC$ . Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $IF$ . Chứng minh rằng hai đường thẳng $DG$ và $EI$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $\Gamma$ .Các cách giải: 1
Bài 3Tìm tất cả các hàm $g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ sao cho $\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)$ là số chính phương với mọi $m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ (với $CA \neq CB$ ). Các đường thẳng $AP$ , $BP$ và $CP$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác tại $K$ , $L$ , $M$ . Tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $C$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$ . Chứng minh rằng nếu $SC = SP$ thì $MK = ML$ .Các cách giải: 1
Bài 5Ban đầu mỗi hộp trong sáu hộp $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ có một đồng xu. Phép loại 1 chọn một hộp không rỗng $B_j$ với $1\le j\le5$ , lấy đi một đồng xu và thêm hai đồng xu vào $B_{j+1}$ . Phép loại 2 chọn một hộp không rỗng $B_k$ với $1\le k\le4$ , lấy đi một đồng xu rồi đổi chỗ lượng xu trong hai hộp (có thể rỗng) $B_{k+1}$ và $B_{k+2}$ . Hãy xác định liệu có thể thực hiện một dãy hữu hạn các phép để $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ rỗng còn $B_6$ chứa đúng $2010^{2010^{2010}}$ đồng xu hay không. Ở đây $a^{b^c}$ nghĩa là $a^{(b^c)}$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy số thực dương. Giả sử với một số nguyên dương $s$ nào đó, ta có $a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}$ với mọi $n>s$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $\ell$ và $N$ , với $\ell\le s$ , sao cho $a_n=a_\ell+a_{n-\ell}$ với mọi $n\ge N$ .Các cách giải: 1