MathLabs

Bài 2

Gọi II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC và Γ\Gamma là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi DD là giao điểm thứ hai của đường thẳng AIAI với Γ\Gamma. Gọi EE là một điểm trên cung BDCBDC (cung không chứa AA) và FF là một điểm trên cạnh BCBC sao cho ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC. Gọi GG là trung điểm của đoạn thẳng IFIF. Chứng minh rằng hai đường thẳng DGDG và EIEI cắt nhau tại một điểm nằm trên Γ\Gamma.
Bước 3 trên 6: Một hệ thức tích liên hệ khoảng cách tới tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Cả AIAI và AA′AA' đều là khoảng cách theo nửa góc tính từ AA, kết hợp với định lý sin cho ABAB và ACAC, tích của chúng rút gọn về cùng một biểu thức, cho ra hệ thức đã nêu.

AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA'
Phân tích chi tiết

Theo định lý sin, AB=2Rsin⁡CAB=2R\sin C và AC=2Rsin⁡BAC=2R\sin B, trong đó RR là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hai công thức khoảng cách chuẩn tới tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp cho AI=4Rsin⁡B2sin⁡C2AI=4R\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2} và AA′=4Rcos⁡B2cos⁡C2AA'=4R\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2}. Nhân lại, AI⋅AA′=16R2sin⁡B2sin⁡C2cos⁡B2cos⁡C2=4R2sin⁡Bsin⁡C=AB⋅ACAI\cdot AA'=16R^2\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2}\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2}=4R^2\sin B\sin C=AB\cdot AC, dùng sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2\sin\theta=2\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2}.