MathLabs

Bài 2

Gọi II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC và Γ\Gamma là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi DD là giao điểm thứ hai của đường thẳng AIAI với Γ\Gamma. Gọi EE là một điểm trên cung BDCBDC (cung không chứa AA) và FF là một điểm trên cạnh BCBC sao cho ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC. Gọi GG là trung điểm của đoạn thẳng IFIF. Chứng minh rằng hai đường thẳng DGDG và EIEI cắt nhau tại một điểm nằm trên Γ\Gamma.
Bước 4 trên 6: Tam giác đồng dạng từ các góc bằng nhau tại A
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Vì EE nằm trên cung xa, ∠AEC=∠ABC\angle AEC=\angle ABC, kết hợp với giả thiết ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC, điều này khiến tam giác ABFABF và AECAEC đồng dạng, nên tích các cạnh bằng đúng tích đã có trước đó.

AF⋅AE=AB⋅AC=AI⋅AA′  ⟹  AFAA′=AIAEAF\cdot AE=AB\cdot AC=AI\cdot AA'\implies\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}
Phân tích chi tiết

Các điểm A,B,E,CA,B,E,C nằm trên Γ\Gamma với BB và EE cùng phía của dây ACAC (cả hai đều trên cung BDCBDC), nên định lý góc nội tiếp cho ∠AEC=∠ABC=∠ABF\angle AEC=\angle ABC=\angle ABF. Kết hợp với ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC (từ giả thiết của bài toán, vì FF nằm trên BCBC), tam giác ABFABF và AECAEC đồng dạng theo góc-góc, nên ABAE=AFAC\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AF}{AC}, tức AF⋅AE=AB⋅ACAF\cdot AE=AB\cdot AC. Kết hợp với hệ thức ở Bước 3 là AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA' ta được AF⋅AE=AI⋅AA′AF\cdot AE=AI\cdot AA', biến đổi lại thành AFAA′=AIAE\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}.