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第2問

三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。
ステップ 6/6: 中点連結線と等角が共円性を完成させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

DD と GG はそれぞれ IA′IA' と IFIF の中点なので、DGDG は三角形 IFA′IFA' の中点連結線であり FA′FA' に平行である。手順5の等しい角をこの平行線に沿って移すと、DGDG と EIEI の交点が DD と EE を等しい角度で見ることが分かり、これはまさに AA、DD、EE を通る円上にあるための条件である。

DG∥FA′  ⟹  ∠GDA=∠FA′A=∠IEADG\parallel FA'\implies\angle GDA=\angle FA'A=\angle IEA
詳しい解説

手順2により DD は IA′IA' の中点であり、仮定より GG は IFIF の中点である。したがって三角形 IFA′IFA' において、線分 DGDG は辺 IA′IA' と IFIF の中点を結ぶので DG∥FA′DG\parallel FA' であり、∠GDA=∠FA′A\angle GDA=\angle FA'A が成り立つ（横断線 AA′=ADAA'=AD による対応角）。手順5の ∠FA′A=∠IEA\angle FA'A=\angle IEA と合わせて ∠GDA=∠IEA\angle GDA=\angle IEA を得る。直線 DGDG と EIEI の交点を XX とすると、∠XDA=∠GDA=∠IEA=∠XEA\angle XDA=\angle GDA=\angle IEA=\angle XEA となり、DD と EE は線分 AXAX を等しい角度で見ることになるので、AA、DD、EE、XX は共円である。AA、DD、EE はすでに Γ\Gamma を定めているので、点 XX は Γ\Gamma 上になければならず、これにより直線 DGDG と EIEI が Γ\Gamma 上で交わることが示される。