MathLabs

国際数学オリンピック · 2010年

問題

  1. 第1問すべての実数 x,yx,y に対して f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R をすべて求めよ。解答: 1
  2. 第2問三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} を満たす関数で、すべての m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0} に対して (g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) が平方数となるものをすべて求めよ。解答: 1
  4. 第4問三角形 ABCABC（ただし CA≠CBCA \neq CB）の内部の点を PP とする。直線 APAP, BPBP, CPCP が外接円 Γ\Gamma と再び交わる点をそれぞれ KK, LL, MM とする。CC における Γ\Gamma の接線が直線 ABAB と交わる点を SS とする。SC=SPSC = SP ならば MK=MLMK = ML であることを示せ。解答: 1
  5. 第5問6個の箱 B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 には最初それぞれ1枚のコインが入っている。種類1の操作では、1≤j≤51\le j\le5 を満たす空でない箱 BjB_j を選び、コインを1枚取り出して Bj+1B_{j+1} に2枚加える。種類2の操作では、1≤k≤41\le k\le4 を満たす空でない箱 BkB_k を選び、コインを1枚取り出し、（空でもよい）箱 Bk+1B_{k+1} と Bk+2B_{k+2} の中身を交換する。有限回の操作によって B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 を空にし、B6B_6 にちょうど 2010201020102010^{2010^{2010}} 枚のコインを入れられるか判定せよ。ここで abca^{b^c} は a(bc)a^{(b^c)} を意味する。解答: 1
  6. 第6問a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。解答: 1