MathLabs

Bài 3

Tìm tất cả các hàm g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} sao cho (g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) là số chính phương với mọi m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0}.
Bước 1 trên 6: Kiểm tra họ nghiệm ứng viên
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai thừa số trở nên giống hệt nhau khi g(n)=n+cg(n)=n+c, nên tích của chúng tự động là số chính phương.

g(n)=n+c,c≥0g(n)=n+c,\quad c\ge0
Phân tích chi tiết

Với một số nguyên cố định c≥0c\ge0, đặt g(n)=n+cg(n)=n+c. Khi đó gg ánh xạ các số nguyên dương vào các số nguyên dương, và P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)=(m+n+c)2P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)=(m+n+c)^2. Vậy mọi hàm trong họ này đều thỏa mãn điều kiện; còn phải chứng minh không có hàm nào khác.