Bài 3

Cố định một số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $a,b$ sao cho $g(a)\equiv g(b)\pmod p$. Chọn số nguyên dương $M$ đủ lớn để cả $v_p(M+g(a))$ và $v_p(M+g(b))$ đều lẻ; có thể làm vậy bằng cách chọn một lớp dư thích hợp của $M$ theo một lũy thừa đủ lớn của $p$: nếu hai hằng số khác nhau bởi ít nhất hai lũy thừa của $p$ (hoặc bằng nhau), cả hai số mũ có thể được làm bằng $1$, còn nếu chúng khác nhau đúng một lũy thừa của $p$, chúng có thể được làm bằng $1$ và $3$. Vì $P(M,a)=(g(M)+a)(g(a)+M)$ là số chính phương, số mũ lẻ của $M+g(a)$ buộc $a+g(M)$ có số mũ p-adic lẻ, nên $p\mid a+g(M)$. Lập luận tương tự với $b$ cho $p\mid b+g(M)$. Do đó $a\equiv b\pmod p$.