Bài 3

Tìm tất cả các hàm

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

sao cho

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

là số chính phương với mọi

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

Bước 4 trên 6: Suy ra hiệu liên tiếp bằng một và tính đơn ánh

Bước trước Bước tiếp

g(k+1)-g(k)\in\{-1,1\},\qquad g(a)=g(b)\Longrightarrow a=b

Phân tích chi tiết

Nếu $g(k)=g(k+1)$ , áp dụng mệnh đề theo mọi số nguyên tố $p$ sẽ cho $k\equiv k+1\pmod p$ , điều không thể. Nếu $|g(k+1)-g(k)|>1$ , chọn số nguyên tố $p$ chia hiệu này; khi đó $g(k)\equiv g(k+1)\pmod p$ , và mệnh đề lại cho cùng mâu thuẫn. Vì vậy $|g(k+1)-g(k)|=1$ . Tổng quát hơn, nếu $g(a)=g(b)$ với $a\ne b$ , mệnh đề cứng áp dụng với mọi số nguyên tố $p$ , nên $a\equiv b\pmod p$ với mọi số nguyên tố. Chọn một số nguyên tố lớn hơn $|a-b|$ buộc $a=b$ , do đó $g$ là đơn ánh.