Bài 3

Tìm tất cả các hàm

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

sao cho

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

là số chính phương với mọi

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

Bước 5 trên 6: Các dấu không thể đổi

Bước trước Bước tiếp

g(k+1)-g(k)=1\text{ for all }k

Phân tích chi tiết

Mỗi hiệu $g(k+1)-g(k)$ đều bằng $1$ hoặc $-1$ . Nếu hai hiệu liên tiếp trái dấu, thì hoặc $g(k+2)=g(k)$ hoặc $g(k+2)=g(k)$ , trái với tính đơn ánh. Vậy mọi hiệu có cùng dấu. Chúng không thể đều bằng $-1$ , vì khi đó $g(k)=g(1)-(k-1)$ sẽ không dương với k đủ lớn, trái với $g(k)\in\mathbb{Z}_{>0}$ . Do đó $g(k+1)-g(k)=1$ với mọi $k$ .