MathLabs

Bài 3

Tìm tất cả các hàm g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} sao cho (g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) là số chính phương với mọi m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0}.
Bước 6 trên 6: Kết luận họ nghiệm đầy đủ
Bước trướcBước tiếp
g(k+1)−g(k)=1 for all kg(k+1)-g(k)=1\text{ for all }k
Phân tích chi tiết

Cộng g(k+1)−g(k)=1g(k+1)-g(k)=1 từ k=1k=1 đến k=n−1k=n-1 cho g(n)=g(1)+n−1=n+cg(n)=g(1)+n-1=n+c, trong đó c=g(1)−1≥0c=g(1)-1\ge0. Bước 1 đã kiểm tra mọi hàm như vậy đều thỏa mãn, nên đây là toàn bộ nghiệm. ■\blacksquare