MathLabs

Bài 5

Ban đầu mỗi hộp trong sáu hộp B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 có một đồng xu. Phép loại 1 chọn một hộp không rỗng BjB_j với 1≤j≤51\le j\le5, lấy đi một đồng xu và thêm hai đồng xu vào Bj+1B_{j+1}. Phép loại 2 chọn một hộp không rỗng BkB_k với 1≤k≤41\le k\le4, lấy đi một đồng xu rồi đổi chỗ lượng xu trong hai hộp (có thể rỗng) Bk+1B_{k+1} và Bk+2B_{k+2}. Hãy xác định liệu có thể thực hiện một dãy hữu hạn các phép để B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 rỗng còn B6B_6 chứa đúng 2010201020102010^{2010^{2010}} đồng xu hay không. Ở đây abca^{b^c} nghĩa là a(bc)a^{(b^c)}.
Bước 2 trên 5: Một phép gộp tạo ra lũy thừa
Bước trướcBước tiếp
(k,n,0,0)→(k−1,2n,0,0)(k≥1,n>0)(k,n,0,0)\to(k-1,2^n,0,0)\qquad(k\ge1,n>0)
Phân tích chi tiết

Xét ba hộp cuối trong trạng thái (k,n,0,0)(k,n,0,0). Lặp lại phép loại 1 tại hộp đầu của ba hộp này rồi dùng phép loại 1 tại hộp kế tiếp để làm nó rỗng; mỗi chu kỳ lấy một xu ở hộp đầu và nhân đôi số xu ở hộp thứ ba. Ta có (n,0,0)→(n−1,2,0)→(n−1,0,4)→(n−2,4,0)→(n−2,0,8)→⋯→(1,0,2n)(n,0,0)\to(n-1,2,0)\to(n-1,0,4)\to(n-2,4,0)\to(n-2,0,8)\to\cdots\to(1,0,2^n). Tiếp đó, phép loại 2 tại hộp đầu của ba hộp này cho (0,2n,0)(0,2^n,0), rồi phép loại 2 tại hộp đứng trước cho (k−1,2n,0,0)(k-1,2^n,0,0). Mọi phép đều hợp lệ vì hộp được chọn để lấy xu luôn không rỗng.