MathLabs

Bài 5

Ban đầu mỗi hộp trong sáu hộp B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 có một đồng xu. Phép loại 1 chọn một hộp không rỗng BjB_j với 1≤j≤51\le j\le5, lấy đi một đồng xu và thêm hai đồng xu vào Bj+1B_{j+1}. Phép loại 2 chọn một hộp không rỗng BkB_k với 1≤k≤41\le k\le4, lấy đi một đồng xu rồi đổi chỗ lượng xu trong hai hộp (có thể rỗng) Bk+1B_{k+1} và Bk+2B_{k+2}. Hãy xác định liệu có thể thực hiện một dãy hữu hạn các phép để B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 rỗng còn B6B_6 chứa đúng 2010201020102010^{2010^{2010}} đồng xu hay không. Ở đây abca^{b^c} nghĩa là a(bc)a^{(b^c)}.
Bước 4 trên 5: Bỏ phần dư một cách chính xác
Bước trướcBước tiếp
(0,A,0,0)→(0,D4,0,0)D=201020102010(0,A,0,0)\to\left(0,\frac{D}{4},0,0\right)\qquad D=2010^{2010^{2010}}
Phân tích chi tiết

Lặp lại phép loại 2 tại hộp chứa AA, trong khi hai hộp kế tiếp đang rỗng; mỗi phép như vậy chỉ lấy đi một xu và giữ nguyên các hộp khác. Vì A>D/4A>D/4, dừng đúng lúc hộp đó còn D/4D/4. Điều này làm được vì D=201020102010D=2010^{2010^{2010}} chia hết cho 44 (thậm chí 20102010 là số chẵn). Khi ấy cấu hình bốn hộp cuối là (0,D/4,0,0)(0,D/4,0,0).