第5問

f

を整数全体の集合から正の整数全体の集合への関数とする。任意の二つの整数

m

と

n

に対し、差

f(m)-f(n)

が

f(m-n)

で割り切れると仮定する。

f(m)\le f(n)

を満たすすべての整数

m

と

n

に対して、

f(n)

が

f(m)

で割り切れることを証明せよ。

ステップ 1/5: すべての値は f(0) を割り切る

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

ある点をそれ自身から 0 を引いたものと比べると、その点での f はすでに f(0) までの差を割り切っており、数は自分自身を割り切るので f(0) も割り切る。

f(x)\mid f(0)

詳しい解説

仮定で $n=0$ とおくと、任意の整数 $x$ に対して $f(x)\mid f(x)-f(0)$ が成り立つ。 $f(x)$ は常に自分自身を割り切るので、差 $f(x)-\big(f(x)-f(0)\big)=f(0)$ も割り切る。すなわち任意の整数 $x$ に対して $f(x)\mid f(0)$ である。