Math Labs

Bài 6

Cho ABCABC là một tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp Γ\Gamma. Cho ℓ\ell là một tiếp tuyến của Γ\Gamma, và gọi ℓa\ell_a, ℓb\ell_b, ℓc\ell_c lần lượt là các đường thẳng thu được bằng cách phản xạ ℓ\ell qua các đường thẳng BCBC, CACA, ABAB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác được xác định bởi các đường thẳng ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c tiếp xúc với đường tròn Γ\Gamma.
Bước 1 trên 6: Chuyển hình vẽ sang số phức
Hiểu nôm na

Đặt đường tròn ngoại tiếp làm đường tròn đơn vị biến mỗi đỉnh thành một số phức có mô-đun 1, và có sẵn công thức cho tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào của đường tròn đó.

z+t2zˉ=2tz+t^2\bar z=2t
Phân tích chi tiết

Đặt Γ\Gamma là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức, và gọi a,b,c,ta,b,c,t là các số phức mô-đun 1 biểu diễn A,B,CA,B,C và điểm tiếp xúc TT của ℓ\ell. Một sự kiện chuẩn về đường tròn đơn vị là tiếp tuyến tại điểm tt trên đó có phương trình z+t2zˉ=2tz+t^2\bar z=2t: thật vậy z=tz=t thỏa mãn vì t+t2⋅(1/t)=2tt+t^2\cdot(1/t)=2t, và hệ số t2t^2 (mô-đun 1) xác nhận đây thực sự là một đường thẳng chứ không phải một điểm.