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第1問

三角形 ABCABC の AA-傍心を JJ とする。この傍接円は辺 BCBC に MM で、直線 ABAB,ACAC にそれぞれ KK,LL で接する。直線 LMLM と BJBJ の交点を FF、KMKM と CJCJ の交点を GG とし、SS を直線 AFAF と BCBC の交点、TT を直線 AGAG と BCBC の交点とする。MM が STST の中点であることを示せ。
ステップ 1/5: 接線の長さから BJ と CJ が垂直二等分線になる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円の外部の同じ点から引いた接線の長さは常に等しいので、B と J はともに K と M から等距離にあり、線分の両端から等距離にある点は常にその垂直二等分線上にある。

BK=BM=s−c,CL=CM=s−b,AK=AL=sBK=BM=s-c,\quad CL=CM=s-b,\quad AK=AL=s
詳しい解説

a=BC,b=CA,c=ABa=BC,b=CA,c=AB とし s=12(a+b+c)s=\tfrac12(a+b+c) とおく。BB から AA-傍接円への接線分は等しいので BK=BMBK=BM であり、標準的な接線長の公式によりどちらも s−cs-c に等しい。同様に CL=CM=s−bCL=CM=s-b、AK=AL=sAK=AL=s である。さらに JK=JM=JLJK=JM=JL（すべて傍接円の半径）でもあるので、B,JB,J はともに K,MK,M から等距離にあり、直線 BJBJ は KMKM の垂直二等分線である。同様に直線 CJCJ は LMLM の垂直二等分線である。