Math Labs

Bài 1

Cho tam giác ABCABC và JJ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện AA. Đường tròn này tiếp xúc BCBC tại MM, các đường thẳng ABAB,ACAC lần lượt tại KK,LL. Hai đường LMLM,BJBJ cắt nhau tại FF, còn KMKM,CJCJ cắt nhau tại GG. Gọi SS là giao điểm của AFAF,BCBC, và TT là giao điểm của AGAG,BCBC. Chứng minh MM là trung điểm của STST.
Bước 1 trên 5: Độ dài tiếp tuyến biến BJ và CJ thành các đường trung trực
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các đoạn tiếp tuyến từ cùng một điểm ngoài tới một đường tròn luôn bằng nhau, nên B và J đều cách đều K và M, mà những điểm cách đều hai đầu mút một đoạn thẳng luôn nằm trên đường trung trực của đoạn đó.

BK=BM=s−c,CL=CM=s−b,AK=AL=sBK=BM=s-c,\quad CL=CM=s-b,\quad AK=AL=s
Phân tích chi tiết

Gọi s=12(a+b+c)s=\tfrac12(a+b+c) với a=BC,b=CA,c=ABa=BC,b=CA,c=AB. Các đoạn tiếp tuyến từ BB tới đường tròn bàng tiếp góc AA bằng nhau nên BK=BMBK=BM, và công thức độ dài tiếp tuyến chuẩn cho cả hai bằng s−cs-c; tương tự CL=CM=s−bCL=CM=s-b, và AK=AL=sAK=AL=s. Vì cũng có JK=JM=JLJK=JM=JL (đều là bán kính đường tròn bàng tiếp), cả B,JB,J cách đều K,MK,M, nên đường thẳng BJBJ là đường trung trực của KMKM; tương tự đường thẳng CJCJ là đường trung trực của LMLM.