国際数学オリンピック · 2012年

問題

第1問三角形 $ABC$ の $A$ -傍心を $J$ とする。この傍接円は辺 $BC$ に $M$ で、直線 $AB$ , $AC$ にそれぞれ $K$ , $L$ で接する。直線 $LM$ と $BJ$ の交点を $F$ 、 $KM$ と $CJ$ の交点を $G$ とし、 $S$ を直線 $AF$ と $BC$ の交点、 $T$ を直線 $AG$ と $BC$ の交点とする。 $M$ が $ST$ の中点であることを示せ。解答: 1
第2問 $n\ge3$ を整数とし、正の実数 $a_2,a_3,\dots,a_n$ が $a_2a_3\cdots a_n=1$ を満たすとする。 $(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n$ を示せ。解答: 1
第3問嘘つき当てゲームでは、A が $1\le x\le N$ を満たす整数 $x$ を選び、B に $N$ を知らせる。B は任意の正整数集合 $D$ について「 $x$ は $D$ に属するか」と質問する。A は各質問に真または偽で答えられるが、任意の連続する $k+1$ 個の回答のうち少なくとも一つは真でなければならない。有限回の質問の後、B は高々 $n$ 個の正整数からなる集合 $X$ を指定し、 $x\in X$ なら勝ちである。(a) $n\ge2^k$ なら B が勝利を保証できること、(b) 十分大きいすべての $k$ に対し、 $n\ge1.99^k$ でどの戦略も勝利を保証できないものがあることを示せ。解答: 1
第4問 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ が、 $a+b+c=0$ を満たす任意の整数 $a,b,c$ に対し $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$ を満たすとする。すべての f を求めよ。解答: 1
第5問 $\angle BCA=90^\circ$ の三角形 $ABC$ で、C からの垂線の足を D とする。CD の内部に X を取り、AX 上の K を $BK=BC$ 、BX 上の L を $AL=AC$ となるように定め、 $M=AL\cap BK$ とする。 $MK=ML$ を示せ。解答: 1
第6問非負整数 $a_1,\dots,a_n$ が存在して $\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1$ となる正整数 $n$ をすべて求めよ。解答: 1