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第2問

n≥3n\ge3 を整数とし、正の実数 a2,a3,…,ana_2,a_3,\dots,a_n が a2a3⋯an=1a_2a_3\cdots a_n=1 を満たすとする。(1+a2)2(1+a3)3⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n を示せ。
ステップ 4/4: 消去し等号を排除する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

求める下界はちょうど n^n で、等号は同時には起きない。

∏k=2nkk(k−1)k−1=nn\prod_{k=2}^n\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}=n^n
詳しい解説

積は nnn^n に望ましく望遠鏡消去する。等号ならすべての kk で ak=1/(k−1)a_k=1/(k-1) だが、積は 1/(n−1)!≠11/(n-1)!\ne1（n≥3n\ge3）となる。したがって (1+a2)2⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2\cdots(1+a_n)^n>n^n。