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第4题

在锐角三角形 ABCABC 的边 BCBC 上取点 PP、QQ,使得 ∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA 且 ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC。点 MM、NN 分别在直线 APAP、AQAQ 上,使得 PP 是 AMAM 的中点,QQ 是 ANAN 的中点。证明直线 BMBM 与 CNCN 的交点落在三角形 ABCABC 的外接圆上。
第 1/5 步：准备:底边上的两个相似三角形
上一步下一步
β:=∠QAC=∠CBA,γ:=∠PAB=∠ACB  ⟹  △ABP∼△CAQ\beta := \angle QAC = \angle CBA, \quad \gamma := \angle PAB = \angle ACB \implies \triangle ABP \sim \triangle CAQ
详细分析

按假设记 β=∠QAC=∠CBA\beta=\angle QAC=\angle CBA,γ=∠PAB=∠ACB\gamma=\angle PAB=\angle ACB。在三角形 ABPABP 中,AA 处的角为 γ\gamma,BB 处的角为 ∠ABC=β\angle ABC=\beta;在三角形 CAQCAQ 中,CC 处的角为 γ\gamma,AA 处的角为 β\beta。将这些相等的角配对,得 △ABP∼△CAQ\triangle ABP\sim\triangle CAQ(其中 A↔CA\leftrightarrow C,B↔AB\leftrightarrow A),从而 BPPA=AQQC\dfrac{BP}{PA}=\dfrac{AQ}{QC}。