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第3問

ABCABC を AB>ACAB>AC を満たす鋭角三角形とする。Γ\Gamma をその外接円、HH をその垂心、FF を AA から下ろした高さの足とする。MM を BCBC の中点とする。QQ を Γ\Gamma 上の点で ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ を満たすものとし、KK を Γ\Gamma 上の点で ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ を満たすものとする。点 AA、BB、CC、KK、QQ はすべて相異なり、この順序で Γ\Gamma 上にあるとする。三角形 KQHKQH と三角形 FKMFKM の外接円が互いに接することを証明せよ。
ステップ 1/4: HH を中心とする反転を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外接円と九点円を交換する、垂心を中心とする負の反転は、垂心配置における古典的な道具である。

ι: A↦F, Q↦M, K↦L\iota:\ A\mapsto F,\ Q\mapsto M,\ K\mapsto L
詳しい解説

∠HML=90∘\angle HML=90^\circ を満たす九点円上の点 LL を取る。HH を中心とし Γ\Gamma と九点円を交換する負の反転 ι\iota は、A↦FA\mapsto F（対応する HH を通る円上の高さの足に関係する二点）、Q↦MQ\mapsto M（∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ と九点円における ∠HMA\angle HMA 型の対応を用いる）、K↦LK\mapsto L と写す。反転は中心を通る円どうしの接触を保ち、また (KQH)(KQH) は反転の中心 HH を通るので、(KQH)(KQH) と (FKM)(FKM) が接することを示すのは、直線 MLML（中心を通る円 (KQH)(KQH) の反像は直線である）が (FKM)(FKM) の反像、すなわち円 (AQL)(AQL) に接することを示すのと同値である。