第5問

\mathbb{R}

を実数全体の集合とする。すべての実数

x

y

に対して方程式

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

を満たすすべての関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

を求めよ。

ステップ 1/5:

y=1

の代入は常に不動点を生み出す

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$y=1$ とおくと積の項 $xy$ が単に $x$ に潰れ、不動点の族全体が明らかになる。

P(x,1):\ f(x+f(x+1))=x+f(x+1)

詳しい解説

$P(x,y)$ を主張 $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ とする。 $y=1$ とすると: $P(x,1)$ より $f(x+f(x+1))+f(x)=x+f(x+1)+f(x)$ 、したがって $f\big(x+f(x+1)\big)=x+f(x+1)$ が得られる。すなわち、任意の実数 $x$ に対して数 $x+f(x+1)$ は $f$ の不動点である。