Bài 5

Gọi

\mathbb{R}

là tập hợp các số thực. Xác định tất cả các hàm số

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

thỏa mãn phương trình

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)

với mọi số thực

x

và

y

Bước 1 trên 5: Mọi phép thế

y=1

đều tạo ra một điểm bất động

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Việc đặt $y=1$ làm cho số hạng tích $xy$ trở thành đúng $x$ , từ đó bộc lộ cả một họ điểm bất động.

P(x,1):\ f(x+f(x+1))=x+f(x+1)

Phân tích chi tiết

Gọi $P(x,y)$ là khẳng định $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ . Lấy $y=1$ : $P(x,1)$ cho ta $f(x+f(x+1))+f(x)=x+f(x+1)+f(x)$ , do đó $f\big(x+f(x+1)\big)=x+f(x+1)$ . Nghĩa là, số $x+f(x+1)$ là một điểm bất động của $f$ , với mọi số thực $x$ .