第2問

n\times n

の表の各マスに文字

I

、

M

、

O

のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数

n

をすべて求めよ：各行と各列において、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、

I

、

M

、

O

がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（

n\times n

の表には両方向合わせて合計

4n-2

本の対角線があることに注意せよ。）

ステップ 1/5: 構成：明示的な有効な

9\times9

タイル

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

次のタイルは直接確認できる：各行・列と、長さが3の倍数の各対角線に各文字が3分の1ずつ現れる。これを周期的に繰り返すと $9$ の倍数をすべて得る。

\text{A valid }9\times9\text{ tile, repeated periodically}

詳しい解説

次の $9\times9$ タイルを用いる： IOMOMIMOI IOMOIMOIM IMIMOMIOO OIOIOMMIM MOIIMOIOM MIMOIOOMI OIOMMIMIO MMOIIOOMI OMIMOIIMO. 9本の行、9本の列、長さが $3$ 、 $6$ 、 $9$ のすべての対角線を直接数えると、各文字がちょうど3分の1ずつ現れる。これを両方向に周期 $9$ で繰り返す。長さが3の倍数の対角線部分は、同じ周期的な確認の3ステップごとの剰余類に分解されるので、そこでも各文字は3分の1ずつになる。 $3$