国際数学オリンピック · 2016年

問題

第1問凸五角形 $ABCDE$ において $\angle B>90^\circ$ とし、線分 $AC$ 上に $\angle FBC=90^\circ$ を満たす点 $F$ をとる。 $FA=FB$ 、 $DA=DC$ 、 $EA=ED$ が成り立ち、半直線 $AC$ と $AD$ は角 $\angle BAE$ を三等分するとする。 $M$ を $CF$ の中点とする。 $AMXE$ が平行四辺形となるような点を $X$ とする。直線 $FX$ 、 $EM$ 、 $BD$ が一点で交わることを示せ。解答: 1
第2問 $n\times n$ の表の各マスに文字 $I$ 、 $M$ 、 $O$ のいずれかを、次の条件を満たすように書き込めるような整数 $n$ をすべて求めよ：各行と各列において、 $I$ 、 $M$ 、 $O$ がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。また、任意の対角線について、その対角線上のマスの個数が3の倍数ならば、 $I$ 、 $M$ 、 $O$ がそれぞれちょうど3分の1ずつ現れる。（ $n\times n$ の表には両方向合わせて合計 $4n-2$ 本の対角線があることに注意せよ。）解答: 1
第3問平面上の凸多角形 $P=A_1A_2\cdots A_k$ を考える。頂点 $A_1,A_2,\dots,A_k$ は整数座標を持ち、ある円周上にある。 $P$ の面積を $S$ とする。 $P$ の各辺の長さの2乗が $n$ で割り切れる整数であるような正の奇数 $n$ が与えられている。 $2S$ が $n$ で割り切れる整数であることを証明せよ。解答: 1
第4問少なくとも2個の要素を持ち、各要素がほかの要素の少なくとも一つと共通の素因数を持つとき、その正の整数の集合を 芳香的 であるという。 $P(n)=n^2+n+1$ とする。集合 $\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}$ が芳香的となるような非負整数 $a$ が存在するような正の整数 $b$ の最小値を求めよ。解答: 1
第5問 $2016$ 個の1次因子を各辺に持つ方程式 $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$ が黒板に書かれている。これら $4032$ 個の1次因子のうちちょうど $k$ 個を、各辺に少なくとも1個の因子が残り、かつ得られる方程式が実数解を持たないように消去できるとき、そのような $k$ の最小値はいくらか。解答: 1
第6問平面上に、どの2本も交わり、どの3本も1点で交わらないような $n\ge2$ 本の線分がある。ジェフは各線分の端点を1つ選び、そこにカエルを置いて、もう一方の端点の方を向かせる。その後、彼は手を $n-1$ 回叩く。手を叩くたびに、すべてのカエルは即座に自分の線分上の次の交点まで前方に跳ぶ（カエルは決して跳ぶ向きを変えない）。ジェフは、どの2匹のカエルも同時に同じ交点を占めることがないようにカエルを配置したいと考えている。(a) $n$ が奇数のとき、ジェフは常にその望みを実現できることを証明せよ。(b) $n$ が偶数のとき、ジェフは決してその望みを実現できないことを証明せよ。解答: 1