Bài 4

Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là thơm nếu nó chứa ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó có chung một ước nguyên tố với ít nhất một phần tử khác. Đặt

P(n)=n^2+n+1

. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể của một số nguyên dương

b

là bao nhiêu, sao cho tồn tại một số nguyên không âm

a

để tập hợp

\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}

là thơm?

Bước 1 trên 5: Bốn chặn chặt từ thuật toán Euclid

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Vì $P(n+d)-P(n)$ là một đa thức đơn giản theo $n$ và $d$ , việc áp dụng thuật toán Euclid cho $P(n)$ và hiệu này sẽ xác định ước chung lớn nhất chỉ là một ước cố định nhỏ phụ thuộc vào $d$ .

\gcd(P(n),P(n{+}1))=1,\ \ \gcd(P(n),P(n{+}2))\mid7,\ \ \gcd(P(n),P(n{+}3))\mid3,\ \ \gcd(P(n),P(n{+}4))\mid19

Phân tích chi tiết

Vì $P(n)=n^2+n+1$ , ta tính được $P(n+d)-P(n)=d(2n+d+1)$ với mỗi khoảng cách $d$ . Áp dụng thuật toán Euclid (khử $n$ nhờ $P(n)\equiv0$ ) cho thấy $\gcd(P(n),P(n+1))=1$ , $\gcd(P(n),P(n+2))\mid7$ , $\gcd(P(n),P(n+3))\mid3$ , và $\gcd(P(n),P(n+4))\mid19$ , với mọi số nguyên $n$ .