第1問

$a_{n+1}$ は固定された関数 $\Phi$（$\sqrt{a_n}$ または $a_n+3$）により $a_n$ だけから完全に決まるので、もし $a_i=a_j$（$i<j$）となる項が存在すれば、すべての $k\ge 0$ について $a_{i+k}=a_{j+k}$ となり、数列は指数 $i$ 以降周期 $j-i$ で正確に周期的になるため、$a_i$ は無限回現れる。逆に、ある数が無限回現れるなら、それが現れる二つの添字が $a_i=a_j$（$i<j$）を与え、同じ理由で周期性が導かれ、数列は有限個の値しかとらない、すなわち有界である。よって、ある $A$ が無限回現れることと数列 $(a_n)$ が有界であることは同値である。