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国際数学オリンピック · 2017年

問題

  1. 第1問各整数 a0>1a_0>1 に対し、n≥0n\ge 0 について数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots を an+1={anif an is an integer,an+3otherwise.a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases} と定める。無限に多くの nn について an=Aa_n=A となる数 AA が存在するような a0a_0 をすべて求めよ。解答: 1
  2. 第2問R\mathbb{R} を実数全体の集合とする。すべての実数 xx と yy に対して f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} をすべて求めよ。解答: 1
  3. 第3問猟師と姿の見えないウサギがユークリッド平面でゲームを行う。ウサギの出発点 A0A_0 と猟師の出発点 B0B_0 は同じ点である。ゲームを n−1n-1 ラウンド行った後、ウサギは An−1A_{n-1} に、猟師は Bn−1B_{n-1} にいる。第 nn ラウンドでは、次の三つがこの順に起こる。(i) ウサギは見えないまま、An−1A_{n-1} から AnA_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（点 AnA_n に到着する）。(ii) 追跡装置は猟師に点 PnP_n を報告する。ただし、PnP_n と AnA_n の距離が高々 11 であることだけが保証される。(iii) 猟師は見える形で Bn−1B_{n-1} から BnB_n へ、距離がちょうど 11 となるように移動する（到着点は BnB_n である）。ウサギの動き方にも追跡装置が報告する点にもよらず、猟師が自分の動きを選んで、10910^9 ラウンド後に自分とウサギとの距離を 100100 以下にできることは常に可能か。解答: 1
  4. 第4問RR と SS を円 Ω\Omega 上の異なる点とし、RSRS は直径でないとする。RR における Ω\Omega の接線を ℓ\ell とする。SS が線分 RTRT の中点となるように点 TT をとる。Ω\Omega の短い弧 RSRS 上に点 JJ をとり、三角形 JSTJST の外接円 Γ\Gamma が ℓ\ell と異なる2点で交わるようにする。Γ\Gamma と ℓ\ell の共通点のうち RR に近い方を AA とする。直線 AJAJ と Ω\Omega のもう一つの交点を KK とする。直線 KTKT が Γ\Gamma に接することを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問整数 N≥2N \ge 2 が与えられている。互いに身長が異なる N(N+1)N(N+1) 人のサッカー選手が一列に並んでいる。サー・アレックスは、この列から N(N−1)N(N-1) 人を取り除き、残った 2N2N 人からなる新しい列において、次の NN 個の条件がすべて成り立つようにしたい。最も背の高い二人の間には誰もいない、背が3番目と4番目に高い二人の間には誰もいない、…\ldots、最も背の低い二人の間には誰もいない。これが常に可能であることを示せ。解答: 1
  6. 第6問整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。解答: 1