MathLabs

Bài 3

Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát của thỏ là A0A_0 và điểm xuất phát của thợ săn là B0B_0, với hai điểm này trùng nhau. Sau n−1n-1 vòng chơi, thỏ ở An−1A_{n-1} còn thợ săn ở Bn−1B_{n-1}. Trong vòng thứ nn, lần lượt xảy ra ba việc: (i) thỏ di chuyển trong vô hình tới điểm AnA_n sao cho khoảng cách giữa An−1A_{n-1} và AnA_n đúng bằng 11; (ii) thiết bị theo dõi báo cho thợ săn một điểm PnP_n, với bảo đảm duy nhất là khoảng cách giữa PnP_n và AnA_n không vượt quá 11; (iii) thợ săn di chuyển công khai tới điểm BnB_n sao cho khoảng cách giữa Bn−1B_{n-1} và BnB_n đúng bằng 11. Bất kể thỏ di chuyển thế nào và thiết bị theo dõi báo những điểm nào, liệu thợ săn có luôn chọn được các bước đi để sau 10910^9 vòng bảo đảm khoảng cách giữa mình và thỏ không vượt quá 100100 hay không?
Bước 1 trên 9: Thỏ có thể tạo khoảng cách ban đầu
Bước trướcBước tiếp
P1=A0,d1=∣A1B1∣≥1P_1=A_0,\qquad d_1=|A_1B_1|\ge 1
Phân tích chi tiết

Ở báo cáo đầu tiên, chọn P1=A0P_1=A_0, điều này hợp lệ với mọi bước đi dài một đơn vị của thỏ. Vì thế phản ứng B1B_1 của thợ săn trước báo cáo này được chiến lược của cô ấy xác định và không phụ thuộc hướng đi của thỏ. Thỏ có thể chuẩn bị bước A1A_1 theo hướng ngược với B1B_1 đã được xác định; do đó d1=∣A1B1∣≥1d_1=|A_1B_1|\ge1. Đây là lựa chọn hợp lệ ở vòng đầu, được lập trước khi báo cáo xuất hiện.